如何理解时间抖动与相位噪声的关系？

每当引入相位噪声测试方案时，都会提到时间抖动，经常提到的是两者都是表征信号短期频率稳定性的参数，都是频域和时域的对应参数。如题所示，相位噪声和时间抖动之间存在一定的关系，那么相位噪声对应哪种类型的抖动，它们之间有什么样的数学关系，本文将予以解答。

1.时间抖动与相位噪声概述

相位噪声通常针对连续波信号，它是表征信号频谱纯度和测量信号频率短期稳定性的一个非常重要的参数。相位噪声是频域的参数，在时域有对应的参数——随机抖动，有一定的数学关系，可以相互转换。

在前一篇关于相位噪声测试的文章中，给出了IEEE中相位噪声的早期定义，SONET规范也给出了时间抖动的相应定义：

抖动被定义为数字信号的重要时刻相对于其理想时间位置的短期变化。

抖动的定义中给出了三个要素：

(1)重要情况通常指信号的上升沿或下降沿；

(2)时间上的理想位置，指信号上升沿或下降沿在时间维度上的理想位置；

(3)短期变化，信号实际上升沿或下降沿相对于理想位置的时间偏移的短期波动。

虽然定义中只提到了数字信号，但实际上一般都适用，当然也适用于CW信号。

上面的定义给出了一个综合的抖动，根据不同的原因机制可以分解成很多不同的抖动成分，包括随机抖动、周期抖动、数据相关抖动、占空比失真等等。

CW信号可以理解为一种特殊的数字码流信号，理论上只有随机抖动和周期性抖动。随机抖动是宽带噪声引起的，周期性抖动是串扰引起的，相当于信号的调频或调相。

高端光谱仪和专业的相位噪声测试设备不仅可以发出相位噪声，还可以测试载波附近的杂散。根据产生机制，可以判断相位噪声对应随机抖动，杂散对应周期性抖动。

下面主要讲相位噪声和随机抖动的关系，后面提到的抖动，除非另有说明，都视为随机抖动。

2. 时间抖动与相位噪声有何关系？

理想的CW信号用公式可以表示为

相位噪声可以理解为宽带随机噪声对CW信号的相位调制，因此，CW信号的频谱具有对称的左右两个边带。

从相位调制的角度看，经宽带随机噪声u(t) 调制后，已调信号可以表示为

式中，k_PM为调相比例系数，u(t) 为宽带随机信号，通常可以视为白噪声信号，相当于由无数个点频信号叠加而成。

对于u(t) 中包含的任意频点ꞷ_m，对应的调制信号表达式为

下面以频率为ꞷ_m 的信号作为调制信号，从数学的角度推导单边带相位噪声与时间抖动的关系。

对射频载波调相后，已调信号的表达式为

由调制信号引起的载波信号的瞬时相位定义为

通常称θ_p 为调相因子，表征了载波信号相位波动的最大偏移，单位为弧度rad.，其表达式为

因此，已调信号又可以写为

将上式展开为

因宽带噪声幅度非常小，对载波信号进行相位调制造成的相位偏移也是非常小的，通常θ_p<<1，则存在如下近似关系：

上式可进一步写为

理论上，如果使用单频点信号作为调制信号对射频载波进行相位调制，已调信号可以展开为第一类贝塞尔函数，从展开式可以看出，频谱分量非常丰富，而且关于载波频率左右对称。而上面的公式表明，却只有载波、左右边带三个频率分量，这正是因为上面做了一些数学近似。

以右边带为例，其信号功率为

载波信号功率为

则在频偏f_m=ꞷ_m/2π 处的单边带相位噪声为

式中，θ_rms为载波信号相位波动的有效值。该公式具有普遍适用性，适用于任意频偏。

相位噪声表征单边带在一定频偏下的相对噪声功率谱密度，从上式可以看出，2rms表征双边带的相对噪声功率谱密度。

以宽带随机噪声中的任意单频信号作为调制信号为例，简述了相位噪声的形成，宽带噪声包含了无数的单频信号。载波相位调制后，从频谱角度可以得到左右对称的两个边带，左右边带的频谱是连续的。

随机抖动和相位噪声有什么关系？

时间抖动是指载波信号的上升沿或下降沿在时间轴上的短期波动，随机抖动是指宽带噪声引起的边沿不规则随机波动，与相位噪声一一对应，边沿的波动是相位噪声在各个频偏下的综合体现。载流子边缘的随机涨落有一个涨落范围。概率密度方面，基本服从高斯分布。通常用标准差来表征随机抖动，标准差也是随机抖动的有效值，是需要测试的参数。

时间抖动引起相位波动，所以只要确定了相位波动的量，时间抖动也就确定了。

将各个频偏处的相位噪声求和并进一步变换可得

由于相位噪声的边带是连续的，因此，上式可以用积分表示

当然，测试设备是没有办法进行积分的，只能对离散的测试数据进行求和来模拟积分的效果。

θ_rms,total 即为由总体的相位噪声引起的相位波动，结合载波频率并运用如下公式便可以计算出对应的时间抖动

值得一提的是，上述公式中的相位噪声不是对数值，而是线性值！而且，根据相位噪声计算得到的抖动为随机抖动，换言之，随机抖动与相位噪声是一一对应的。

3.如何测试时间抖动？

从今天来看，关注时间波动的信号主要分为两类：快速边沿信号和CW信号。前者一般指高速串行总线通信中的比特流信号及其时钟信号。此类信号通常具有非常快的边缘和丰富的频谱成分。后者主要是指射频载波信号、晶振等单频信号。这些信号的频谱相对独特。

使用示波器是测试时间抖动的最直接方法。您可以直接测试抖动，而无需从相位噪声中推导出来。适用于上述两种信号。特别是对于快速边沿信号，不仅要测试各种抖动成分，还要测试信号的幅度、边沿时间、眼图等特征参数，这些都需要用示波器进行测试。

在CW信号的情况下，它基本上只是指随机波动。如果满足抖动率要求，则应指明相应的频偏范围。中高频示波器可直接测试随机抖动，支持积分频率补偿范围设置，观察频率补偿范围内的总随机抖动。但缺点是示波器自身的本底抖动通常较大，如果CW信号本身的随机抖动相当于示波器的本底抖动，则无法直接准确测试。

如上所述，可以从相位噪声推导出随机抖动，然后可以先测试相位噪声，然后根据公式计算随机抖动。设置自动相位噪声测试选项时，更方便中高频频谱分析仪测试相位噪声和抖动。此外，在随机抖动可测试性方面，频谱分析仪本身的抖动本底噪声要好得多。如果超出频谱分析仪的测试能力，还可以选择“专家级”设备——信号源分析仪进行相位噪声测试，噪声测试能力更强。优点很明显，缺点也很明显，这些频域设备只能测试频域相关参数，不能进行时域相关测试！

无论是使用示波器直接测试随机抖动，还是使用频谱分析仪等设备先测试相位噪声再计算随机抖动，整个测试都非常简单智能。那么我们应该如何选择呢？关键还是要看仪器自身的测试能力和能力是否满足要求。